ANACLETO IN MATEMATICA

   c)x=-4       x=+4

• I quadrante: comprende i punti aventi ascissa ed ordinata positive;
• II quadrante: comprende i punti aventi ascissa negativa ed ordinata positiva;
• III quadrante: simmetrico al primo rispetto all'origine;
• IV quadrante: simmetrico al secondo rispetto all'origine.

sistemi di disequazione:

Un sistema di disequazioni è un insieme di più disequazioni, che devono essere contemporaneamente verificate.

Esso può avere una o più incognite, espressamente indicate.

Il grado di un sistema è il prodotto dei gradi delle singole disequazioni. In un sistema di m disequazioni ed n incognite, il numero delle disequazioni può essere: maggiore del numero delle incognite (m > n) uguale al numero delle incognite (m = n) minore del numero delle incognite (m < n)

Risolvere un sistema rispetto alle incognite indicate significa determinare l'insieme S dei valori che, rispettivamente sostituiti ad esse, verificano tutte le disequazioni che lo costituiscono.

Esempio di sistema di disequazioni di primo grado

       che ha come soluzione :

       ovvero

       .

     Sistemi impossibili

• Un sistema di disequazioni può essere impossibile se non c'è un insieme di valori che soddisfino tutte le disequazioni:

        si risolve nel sistema

Evidentemente questo non ha soluzioni perché non esiste un numero che stia tra -1 e 1 e sia contemporaneamente maggiore di 6

• Un sistema può anche essere impossibile se almeno una delle sue disequazioni non ha soluzioni:

È impossibile perché la prima disequazione non ha soluzioni (all'interno dell'insieme dei numeri reali.) Risoluzione di un sistema di disequazioni polinomiali Nel caso di una frazione o di un sistema di disequazioni polinomiali si ripete il procedimento per la risoluzione di una disequazione polinomiale, per ogni disequazione del sistema (o per il numeratore e denominatore della frazione). Il numeratore e denominatore della frazione sono equivalenti ad un sistema di due disequazioni polinomiali. Dopo avere disegnato il diagramma per il prodotto dei segni, per ogni disequazione, resta da farne uno per la risoluzione del sistema. Il diagramma è nuovamente una retta nella quale si riportano in ordine crescente gli zeri associati a tutte le disequazioni del sistema. La soluzione questa volta però è l'intersezione (un AND) degli intervalli di valori dell'incognita, che saranno separati dal segno di congiunzione. Nel diagramma non si effettua il prodotto dei segni, e da ogni valore parte soltanto una linea continua nel verso positivo.

Le Equazioni
In matematica, un'equazione è una uguaglianza tra due espressioni algebriche contenenti una o più variabili, dette incognite, verificata solo per determinati valori attribuiti alle incognite.

Un insieme di valori che, sostituiti alle incognite, rende vera un'equazione è chiamato soluzione. Risolvere un'equazione significa esplicitare l'insieme di tutte le soluzioni dell'equazione.

Tipicamente in un'equazione compaiono, oltre alle incognite, dei coefficienti noti, che, se non sono esplicitati nel loro valore numerico, sono indicati in genere con le lettere a, b, c... mentre alle variabili incognite sono convenzionalmente attribuite le ultime lettere dell'alfabeto (x, y, z...).

Le soluzioni di un'equazione vengono generalmente indicate esplicitando le incognite delle espressioni che contengano le costanti ed eventuali parametri arbitrari. Ad esempio, la soluzione dell'equazione

ax+2=b

dove a è un parametro non nullo, e il dominio è l'insieme dei numeri reali, si scrive come

 x=(b-2)/a

I Sistemi di equazione

In matematica, un sistema di equazioni è un insieme di più equazioni che devono essere contemporaneamente verificate. Esso può avere una o più incognite. Ad esempio:

Questo è un sistema con due equazioni e due incognite.   

Strumenti per la risoluzione 

I metodi di risoluzione più elementari si basano su delle operazioni che trasformano il sistema in un altro equivalente, ma più semplice. Negli esempi successivi si prendono in considerazione solo sistemi lineari per la loro facilità di risoluzione, ma questi metodi possono essere usati anche in altri casi.

Metodo di sostituzione 

Si esplicita un'incognita esprimendola in funzione delle altre (per esempio y − 2x = − 3 diventa y = 2x − 3) in una delle equazioni del sistema e si sostituisce l'espressione così ottenuta nelle altre equazioni in luogo dell'incognita corrispondente. In questo modo l'incognita sparisce da tutte le equazioni eccetto la prima. Si applica iterativamente il metodo fino a giungere ad una equazione con una sola incognita; si calcola il valore di quest'ultima e si risale fino alla prima esplicitando via via i valori delle incognite calcolate.

Esempio:

        Esplicitiamo z nella prima equazione e sostituiamolo dove compare nelle altre:

        Ora calcoliamo x nella seconda in funzione di y:

       In questo modo la terza equazione adesso contiene solo y: risolvendola viene

        Quindi ora calcolando la x nella seconda viene la soluzione

Metodo di confronto 

Si esplicita, in due delle equazioni, una delle variabili (o in generale, una stessa quantità), ottenendo così di poter eguagliare i secondi membri (che risulteranno indipendenti dalla variabile esplicitata) per la proprietà transitiva dell'uguaglianza. L'equazione così composta potrà essere riscritta al posto di una delle due precedenti, ottenendo un sistema equivalente.

Esempio:

        Isoliamo la variabile z nella prima e seconda equazione:

        Confrontiamo le due espressioni risultanti:

        Da cui risulta:

        E risolvendo per sostituzione tra le prime due equazioni:

        Dunque:

Metodo di riduzione 

Si sostituisce una delle equazioni del sistema con una opportuna combinazione lineare di due equazioni del sistema stesso, ottenendo un sistema equivalente a quello dato. Più precisamente, se due righe sono espresse come prodotto tra opportune sottomatrici dei coefficienti ed il vettore x delle soluzioni, ovvero

        allora è possibile sostituire una delle due con l'equazione

.

dove m e n sono due numeri qualsiasi, entrambi diversi da zero.

Questo metodo è consigliato quando permette di trasformare il sistema dato in un altro più semplice, in cui almeno una delle equazioni ha perso la dipendenza da qualche incognita.

Esempio:

        Al posto della prima equazione scriviamo una combinazione lineare della prima e della    seconda, sattamente A + B, così da semplificare la variabile z:

        Ora al posto della seconda equazione sostituiamo la combinazione lineare della prima e della seconda 3A − 4B, eliminando così la variabile y:

        Così facendo abbiamo calcolato la x. Ora per semplice sostituzione completiamo la risoluzione del problema:

Le Equazioni di secondo grado

In matematica, un'equazione di secondo grado o quadratica è un'equazione algebrica ad una sola incognita X che compare con grado massimo pari a X², e la cui formula è riconducibile alla forma:

ax² + bx + c = 0

con ; la cui funzione omologa dà vita a una parabola

Le soluzioni delle equazioni di secondo grado per il teorema fondamentale dell'algebra sono sempre 2, però si distingue e si dice che:

• nel campo reale ammette due, una o anche nessuna soluzione, mentre
• nel campo complesso ammette sempre 2 due soluzioni eventualmente coincidenti.

Sono poi particolarmente semplici da risolvere le cosiddette equazioni incomplete, dove alcuni coefficienti sono pari a zero.

Il grafico della funzione

nel piano cartesiano è una parabola.

Equazione spuria

Si dice equazione quadratica spuria un'equazione quadratica che manca del termine noto, ossia avente la forma:

Un'equazione di questo tipo si risolve facilmente tramite scomposizione:

 x(ax+b)=0

Per la legge di annullamento del prodotto quest’equazione è equivalente alle due:

x=0      e     ax+b=0

E in definitiva le sue soluzioni sono x=0 e  

Equazione pura

pura un'equazione polinomiale di secondo grado che manca del termine di primo grado, cioè che è della forma:

Portando c al secondo membro e dividendo per a si ottiene:

Se , l'equazione non ammette soluzioni reali (ma due soluzioni immaginarie); viceversa, se , l'equazione è risolta da:

Equazione monomia

Si dice equazione monomia un'equazione quadratica nella quale b = 0 e c = 0. In questo caso l'equazione ammette come soluzione doppia x = 0.

Equazioni complete

Un'equazione polinomiale di secondo grado viene detta equazione quadratica completa quando tutti i suoi coefficienti sono diversi da 0. Essa viene risolta con il cosiddetto metodo del completamento del quadrato, così chiamato perché si modifica l'equazione fino ad ottenere al suo primo membro il quadrato di un binomio nella forma . Anzitutto portiamo c al secondo membro:

Moltiplichiamo per 4a entrambi i membri, ottenendo:

Notiamo che e : dunque per fare in modo che al primo membro si abbia un quadrato di binomio, aggiungiamo ad ambo i membri:

ovvero:

Il secondo membro di quest’equazione è detto discriminante e in genere viene indicato con la lettera greca Δ (Delta). Se evidentemente non ci sono soluzioni reali, dal momento che il primo membro è sempre maggiore o uguale a 0. In caso contrario, possiamo scrivere:

che con semplici passaggi possiamo riscrivere come:

Quest’ultima è nota come formula risolutiva delle equazioni quadratiche.